Comprendiendo las Ecuaciones Irracionales: Un Ejemplo Práctico

Las ecuaciones irracionales son aquellas que contienen una variable dentro de una operación irracional, como la raíz cuadrada. Son ejemplos de ecuaciones irracionales: √x + 3 = 7 y √(4 – x) = 2.

Para resolver una ecuación irracional se sigue un proceso similar al de las ecuaciones regulares. Primero, se aísla la variable con el término irracional y después se eleva al cuadrado para eliminar la raíz cuadrada. Sin embargo, hay un detalle importante a tener en cuenta: al elevar al cuadrado se pueden generar soluciones extraviadas, es decir, valores que no cumplen la ecuación original.

Veamos un ejemplo práctico. Supongamos que queremos resolver la ecuación irracional √(x + 1) = x – 2. Para empezar, podemos trasladar el término radical al otro lado, quedando √(x + 1) – x + 2 = 0. Ahora, elevamos al cuadrado ambos lados y resolvemos la ecuación resultante:

(√(x + 1) – x + 2)² = 0

x + 1 – 2x√(x + 1) + x² – 4x + 4 = 0

x² – 5x + 5 – 2x√(x + 1) = 0

x² – 5x + 5 = 2x√(x + 1)

(x² – 5x + 5)² = 4x²(x + 1)

x⁴ – 10x³ + 41x² – 70x + 25 = 0

Esta última ecuación es un polinomio de cuarto grado, que puede ser resuelto mediante diversas técnicas, como la factorización o las fórmulas de Cardano. Una vez obtenidos los valores de x que cumplen esta última ecuación, debemos verificar que efectivamente satisfacen la ecuación original √(x + 1) = x – 2. Si alguno de los valores genera una solución extraviada, deberá descartarse.

En resumen, comprender las ecuaciones irracionales puede resultar un poco más complejo que las ecuaciones regulares, ya que deben seguirse ciertas precauciones al elevar al cuadrado. Pero con paciencia y práctica, es posible dominar esta técnica y resolver ecuaciones con raíces cuadradas o cubos que aparezcan en sus expresiones.