Resolviendo un Sistema de ecuaciones lineales con el Método de Determinantes 3x3

El Método de Determinantes 3x3 es una técnica para resolver sistemas de ecuaciones lineales que involucran tres variables x, y, z. Este proceso implica muchos cálculos, pero una vez que se entiende bien, puede ser utilizado para resolver cualquier sistema de tres ecuaciones. La clave es entender cómo funciona la determinante y el teorema de Cramer.

Para empezar, se debe tomar el sistema de ecuaciones y representarlo como una matriz extendida. La matriz estándar 3x3 es la siguiente:

|a1 b1 c1|

|a2 b2 c2|

|a3 b3 c3|

La matriz extendida incluirá los términos conocidos, lo que permitirá resolver las incógnitas. El sistema de ecuaciones se puede escribir como:

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

Una vez que se tiene la matriz extendida, se debe calcular la determinante de la matriz original. La fórmula es:

= a1(b2c3 - c2b3) - b1(a2c3 - c2a3) + c1(a2b3 - b2a3)

El siguiente paso es calcular las determinantes de 3 matrices diferentes, cada una de las cuales se obtiene al reemplazar una columna en la matriz original con la columna de términos conocidos. La fórmula para cada una de ellas es:

|d1 b1 c1|

|d2 b2 c2|

|d3 b3 c3|

= d1(b2c3 - c2b3) - b1(d2c3 - c2d3) + c1(d2b3 - b2d3)

|a1 d1 c1|

|a2 d2 c2|

|a3 d3 c3|

= a1(d2c3 - c2d3) - d1(a2c3 - c2a3) + c1(a2d3 - d2a3)

|a1 b1 d1|

|a2 b2 d2|

|a3 b3 d3|

= a1(b2d3 - d2b3) - b1(a2d3 - d2a3) + d1(a2b3 - b2a3)

Finalmente, se puede resolver para cada incógnita utilizando la fórmula:

x = Dx / D

y = Dy / D

z = Dz / D

En donde Dx, Dy y Dz son las determinantes de las matrices obtenidas reemplazando cada columna de la matriz original por la columna de términos conocidos, y D es la determinante de la matriz original.

Resolviendo un sistema de ecuaciones lineales con el Método de Determinantes 3x3 puede ser tedioso y requiere mucha matemática. Pero es una técnica útil que puede usarse para resolver cualquier sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.